Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右頂點分別為.右焦點為，過點且斜率為的直線交橢圓于另一點.

(1)求橢圓的離心率;

(2)若，設直線，延長交直線于點，線段的中點為，求證:點關于直線的對稱點在直線上

Answer 1

【答案】(1)

(2)證明見解析

【解析】

(1)求出關于的表達式再利用離心率求解即可.

(2) 直線的方程為,進而求得,.再聯立與橢圓的方程,進而求得的坐標為,再求直線的斜率,利用二倍角的正切公式證明即可.

(1)因為橢圓,所以,

又,所以,所以橢圓的離心率

(2)直線的方程為,將代入得,

所以.

因為為線段的中點,所以,因為焦點的坐標為,

所以直線的斜率,

聯立消去得,

由,且

所以點的坐標為

所以直線的斜率

而直線的斜率為,若設,則有,

即.

所以點關于直線的對稱點在直線上,