Question

已知函數y=x+

t

x

有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數在（0，

t

]上是減函數，在[

t

，+∞）上是增函數．
（1）若f（x）=x+

a

x

，函數在（0，a]上的最小值為4，求a的值；
（2）對于（1）中的函數在區間A上的值域是[4，5]，求區間長度最大的A（注：區間長度=區間的右端點-區間的左斷點）；
（3）若（1）中函數的定義域是[2，+∞）解不等式f（a²-a）≥f（2a+4）．

Answer 1

分析：（1）利用性質，討論

a

與區間（0，a]的關系，從而利用最小值是4，建立條件關系．
（2）根據值域為[4，5]，確定對應的變量x，然后判斷最大的區間．
（3）利用函數的單調性，解不等式即可．

解答：解：（1）由題意的：函數f（x）在(0，

a

]上單調遞減，在[

a

，+∞)上單調遞增，
當a＞

a

時，即a＞1時函數在x=

a

處取得最小值，
∴f（

a

）=2

a

=4，解得a=4，
當a＜

a

時，即0＜a＜1時，函數在x=a處取得最小值，
∴f（a）=a+1=4，解得a=3不符合題意，舍去．
綜上可得 a=4．
（2）由（1）得f（x）=x+

4

x

，又x=2時函數取得最小值4，
令x+

4

x

=5，則x²-5x+4=0，解得 x=1或 x=4，
又2∈[1，4]，
∴區間長度最大的A=[1，4]．
（3）由（1）知函數在[2，+∞）上單調遞增，
∴原不等式等價于

a2-a≥2 2a+4≥2 2a+4≤a2-a

，
解得a≥4或a=-1，
∴不等式的解集{a|a≥4或a=-1}．

點評：本題主要考查函數單調性的應用，考查學生的理解和應用能力．