Question

已知函數y=x+

t

x

有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數（0，

t

]上是減函數，在[

t

，+∞）上是增函數．
（1）已知f（x）=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，利用上述性質，求函數f（x）的單調區間和值域．
（2）對于（1）中的函數f（x）和函數g（x），若對于任意的x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）將2x+1看成整體，研究對勾函數的單調性從而求出函數的值域，以及利用復合函數的單調性的性質得到該函數的單調性；
（2）對于任意的x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）可轉化成f（x）的值域為g（x）的值域的子集，建立關系式，解之即可．

解答：解：（1）f（x）=

4x2-12x-3

2x+1

=2x+1+

4

2x+1

-8，
設u=2x+1，x∈[0，1]，則1≤u≤3，則y=u+

4

u

-8，u∈[1，3]，由已知性質得，
當1≤u≤2，即0≤x≤

1

2

時，f（x）單調遞減，所以遞減區間為[0，

1

2

]
當2≤u≤3，即

1

2

≤x≤1時，f（x）單調遞增，所以遞增區間為[

1

2

，1]
由f（0）=-3，f（

1

2

）=-4，f（1）=-

11

3

，得f（x）的值域為[-4，-3]
（2）由于g（x）=-x-2a為減函數，故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]，
由題意，f（x）的值域為g（x）的值域的子集，從而有

-1-2a≤-4 -2a≥-3

所以 a=

3

2

點評：本題主要考查了利用單調性求函數的值域，以及函數恒成立問題，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．