Question

已知函數y=|x|+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

1

2

（x+

1-t

x

）（x＞0）的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三個根，其中0＜t＜1
（1）求證：a²=2b+3；
（2）設（x₁，M），（x₂，N）是函數f（x）=x³+ax²+bx+c的兩個極值點，若|x₁-x₂|=

2

3

，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）函數y=|x|+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

1

2

（x+

1-t

x

）（x＞0）的最小值分別為1，

1+t

，

1-t

，由于f（1）=0，根據函數y=|x|+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

1

2

（x+

1-t

x

）（x＞0）的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三個根，可得x²+（a+1）x+（a+b+1）=0的兩個根為

1+t

，

1-t

，利用韋達定理得證；
（2）先求導函數f′（x）=3x²+2ax+b，根據（x₁，M），（x₂，N）是函數f（x）=x³+ax²+bx+c的兩個極值點，可得x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的根，再利用|x₁-x₂|=

2

3

，結合韋達定理，即可求得函數f（x）的解析式．

解答：（1）證明：函數y=|x|+1≥1，∴函數y=|x|+1的最小值為1；
y=

x2-2x+2+t

=

(x-1)2+1+t

≥

1+t

，∴y=

x2-2x+2+t

的最小值為

1+t

；
∵x＞0，0＜t＜1，∴y=

1

2

（x+

1-t

x

）≥

1-t

，∴y=

1

2

（x+

1-t

x

）（x＞0）的最小值為

1-t

∵f（1）=0，∴c=-a-b-1
∴f（x）=（x-1）[x²+（a+1）x+（a+b+1）]
∵函數y=|x|+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

1

2

（x+

1-t

x

）（x＞0）的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三個根
∴x²+（a+1）x+（a+b+1）=0的兩個根為

1+t

，

1-t

∴

1+t

+

1-t

=-(a+1)，

1+t

•

1-t

=a+b+1
∴2+2（a+b+1）=（a+1）²
∴a²=2b+3；
（2）解：f′（x）=3x²+2ax+b
∵（x₁，M），（x₂，N）是函數f（x）=x³+ax²+bx+c的兩個極值點
∴x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的根
∴x₁+x₂=-

2a

3

，x₁x₂=

b

3

，
∵△=（2a）²-12b＞0
∴b＜3
∵|x₁-x₂|=

2

3

，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

4a2-12b

9

=

12-4b

9

=

4

9

，
∴b=2，
∴a²=2b+3=7
∵

1+t

+

1-t

=-(a+1)＞0
∴a=-

7

∴c=-(a+b+1)=

7

-3
∴函數f（x）的解析式為f（x）=x³-

7

x²+2x+

7

-3．

點評：本題以函數為載體，考查函數的最值，考查韋達定理的運用，考查利用導數研究極值，綜合性較強．