Question

已知函數是R上的奇函數，當時取得極值.

(I)求的單調區間和極大值

(II)證明對任意不等式恒成立.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)單增區間，單減區間，極大值；(Ⅱ)見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)根據奇函數的定義可知，由此解得，由已知條件“當時取得極值”可得以及，聯立方程組解得，寫出函數的解析式為，然后對函數求導，利用函數的單調性與導數的關系判斷函數在實數集R上的單調性，并由此得到函數在處取得極大值；(Ⅱ)根據函數在區間是單調遞減的，可知函數在區間上的極大值和極小值，從而由對任意的都有不等式成立，即得結論.

試題解析：(Ⅰ)由奇函數的定義，有，

即，∴.

因此，，

由條件為的極值，必有.

故，解得.              4分

因此， ，

，

.

當時，，故在單調區間上是增函數；

當時，，故在單調區間上是減函數；

當時，，故在單調區間上是增函數.

∴函數在處取得極大值，極大值為.            8分

(Ⅱ)由(I)知，是減函數，

且在上的最大值

在上的最小值

∴對任意恒有                 12分    

考點：1.求函數的解析式；2.利用導數研究函數的單調性；3.利用導數研究函數的極值；4.解不等式；5.奇函數的性質