Question

已知函數f（x）對任意的x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0時，f（x）＞0．
（1）求證：函f（x）是奇函數；
（2）求證：函數f（x）是R上的減函數；
（3）若定義在（-2，2）上的函數f（x）滿足f（-m）+f（1-m）＜0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=-x 代入即證；
（2）設x₂＞x₁則x₁-x₂＜0，由已知當x＜0時，f（x）＞0可得f（x₁-x₂）＞0，則f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＞f（x₂）可證；
（3）移項，利用奇偶性進行化簡，然后利用單調性建立不等式，注意定義域，從而可求出m的取值范圍．

解答：（1）證明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
∴函數f（x）是奇函數；…（5分）
（2）證明：設x₂＞x₁則x₁-x₂＜0
∵當x＜0時，f（x）＞0
∴f（x₁-x₂）＞0
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＞f（x₂）
∴函數f（x）是R上的減函數
（3）解：∵f（-m）+f（1-m）＜0，∴f（-m）＜f（m-1），
且f（-m）+f（1-m）=f（1-2m）
∴

-2＜-m＜2 -2＜1-m＜2 -2＜1-2m＜2 -m＞m-1

，解得：-

1

2

＜m＜

1

2

．…（16分）

點評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數函數值，及利用賦值判斷函數的奇偶性，利用函數單調性求解函數的最值，利用構造條件判斷抽象函數的單調性的技巧要求體會掌握，是函數知識的綜合應用，屬于中檔題．