Question

已知函數f(x)=

bx+c

x+1

的圖象過原點，且關于點（-1，1）成中心對稱．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若數列a_n（n∈N*）滿足：an＞0，a1=1，an+1=[f(

an

)]2，求數列a_n的通項公式a_n．

Answer 1

分析：（1）因為函數f(x)=

bx+c

x+1

的圖象過原點，即f（0）=0，可以解出c=0，再有對稱性可以求出b值，即得函數的解析式．
（2）由（1）的結論，可以得到f(x)=

x

x+1

，故可得

an+1

=

an

an +1

，即

1

an+1

=

1

an

+1，所以

1

an+1

-

1

an

=1由此可以得到 數列{

1

an

}的性質的，可求數列a_n的通項公式．

解答：解：（1）因為函數f(x)=

bx+c

x+1

的圖象過原點，即f（0）=0，所以c=0，即f(x)=

bx

x+1

．
又函數f(x)=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的圖象關于點（-1，1）成中心對稱，所以b=1，
∴f(x)=

x

x+1

．

（2）∵an+1=[f(

an

)]2，由（1）的結論開方得：

an+1

=

an

an +1

，
變形得

1

an+1

=

1

an

+1，所以

1

an+1

-

1

an

=1．
∴數列{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數列．
∴

1

an

=1+（n-1）=n，即

an

=

1

n

，
∴a_n=

1

n2

．

點評：本題考點是奇偶函數的圖象的對稱性，考查利用函數的對稱性求求解析式，在第二問中用到了間接法求數列的通項公式，變形技巧值在學習中借鑒．