Question

已知函數f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，

(1)求b、c的值；

(2)判斷函數F(x)=lgf(x)，當x∈［－1，1］時的單調性，并證明你的結論；

(3)若t∈R，求證  lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg.

Answer 1

(1) c=2，b=－2，(2) F(x)為增函數 (3)證明略

解析:

  設y=，則(y－2)x²－bx+y－c=0        ①

∵x∈R，∴①的判別式Δ≥0，即 b²－4(y－2)(y－c)≥0，

即4y²－4(2+c)y+8c+b²≤0                                                ②

由條件知，不等式②的解集是［1，3］

∴1，3是方程4y²－4(2+c)y+8c+b²=0的兩根

∴c=2，b=－2，b=2(舍）

(2)任取x₁，x₂∈［－1，1］，且x₂＞x₁，則x₂－x₁＞0，且

(x₂－x₁)(1－x₁x₂)＞0，

∴f(x₂)－f(x₁)=－＞0，

∴f(x₂)＞f(x₁)，lgf(x₂)＞lgf(x₁)，即F(x₂)＞F(x₁)

∴F(x)為增函數.

即－≤u≤，根據F(x)的單調性知

F(－)≤F(u)≤F()，

∴lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg對任意實數t 成立.