Question

（文科）如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，C₁D₁的中點，
求證：平面AMN∥平面EFDB．

Answer 1

【答案】分析：連接B₁D₁，NE，分別在△A₁B₁D₁中和△B₁C₁D₁中利用中位線定理，得到MN∥B₁D₁，EF∥B₁D₁，從而MN∥EF，然后用直線與平面平行的判定定理得到MN∥面BDEF．接下來利用正方形的性質和平行線的傳遞性，得到四邊形ABEN是平行四邊形，得到AN∥BE，直線與平面平行的判定定理得到AN∥面BDEF，最后可用平面與平面平行的判定定理，得到平面AMN∥平面EFDB，問題得到解決．
解答：證明：如圖所示，連接B₁D₁，NE
∵M，N，E，F(xiàn)分別是棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，C₁D₁的中點
∴MN∥B₁D₁，EF∥B₁D₁
∴MN∥EF
又∵MN?面BDEF，EF?面BDEF
∴MN∥面BDEF
∵在正方形A₁B₁C₁D₁中，M，E，分別是棱 A₁D₁，B₁C₁的中點
∴NE∥A₁B₁且NE=A₁B₁
又∵A₁B₁∥AB且A₁B₁=AB
∴NE∥AB且NE=AB
∴四邊形ABEN是平行四邊形
∴AN∥BE
又∵AN?面BDEF，BE?面BDEF
∴AN∥面BDEF
∵AN?面AMN，MN?面AMN，且AN∩MN=N
∴平面AMN∥平面EFDB
點評：本題借助于正方體模型中的一個面面平行位置關系的證明，著重考查了三角形的中位線定理、線面平行的判定定理和面面平行的判定定理等知識點，屬于基礎題．