Question

（文科）如圖所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，M是棱A₁B₁的中點，N是棱A₁D₁的中點．
（1）求異面直線AN與BM所成的角；
（2）求三棱錐M-DBB₁的體積．

Answer 1

分析：（1）棱B₁C₁的中點為G，連接BG、GM、GN，先利用平行公理證明ABGN為平行四邊形，再利用異面直線所成的角的定義證明∠MBG是異面直線AN與BM所成的角，最后在三角形中計算此角即可；
（2）先利用線面垂直的判定定理證明MH⊥平面DBB₁D₁，從而MH為三棱錐M-DBB₁的高，再利用三棱錐的體積計算公式計算其體積即可

解答：解：（1）記棱B₁C₁的中點為G，連接BG、GM、GN，GM與B₁D₁的交點為H，
連接BH，如圖所示．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，G、N是中點，
∴GN∥A₁B₁∥AB，GN=A₁B₁=AB，即ABGN為平行四邊形．
∴BG∥AN，
∴∠MBG是異面直線AN與BM所成的角．
在三角形MBG中，BM=BG=

5

2

a，MG=

2

2

a．
∴cos∠MBG=

( 5 2 a)2+( 5 2 a)2-( 2 2 a)2

2 5 2 a• 5 2 a

=

4

5

異面直線AN與BM所成角為arccos

4

5

（2）∵B₁H是等腰三角形MB₁G的頂角平分線
∴BH⊥MH．
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，MH?平面A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥MH．
∴MH⊥平面DBB₁D₁，即MH為三棱錐M-DBB₁的高．
∴VM-DBB1=

1

3

•

1

2

•DB•BB1•MH=

1

6

•

2

a•a•

2

4

a=

1

12

a³

點評：本題主要考查了異面直線所成的角的定義及其作法、證法、算法，椎體的體積計算公式及其應用，屬基礎題