Question

定義在R上的函數f(x)=x³+ax²+bx(a,b為常數),在x=-1處取得極值,且f(x)的圖象在P(1,f(1))處的切線平行于直線y=8x,

(1)求函數f(x)的解析式及極值;

(2)求不等式f(x)≥kx的解集;

(理)(3)對任意α、β∈R,求證:|f(sinα)-f(cosβ)|≤.

Answer 1

答案：(理22文21)解:(1)由題設知

∴f(x)=x³+2x²+x.

則f′(x)=3x²+4x+1.令f′(x)=0,解得x=-,x₂=-1,

當x變化時,f(x)、f′(x)的變化情況如下表:

x	(-∞,-1)	-1	(-1,-)	-	(-,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	?	0	?		?

∴f(x)的極大值為f(-1)=0;極小值為f(-)=.

(2)x³+2x²+x≥kxx(x²+2x+1-k)≥0,考慮方程(x²+2x+1-k)x=0根的情況:

若k＞0,則方程(x²+2x+1-k)x=0的根為x₁=0,x₂=,x₃=.

①當k＞1時,,

∴不等式的解集為{x｜x≥或-≤x≤0};

②k=1時,不等式的解集為{x｜x≥-2};

③0＜k＜1時,不等式的解集為{x｜x≥0或};

若k=0,不等式的解集為{x｜x≥0或x=-1};若k＜0,不等式的解集為{x｜x≥0}.

(理)(3)∵α、β∈R,∴-1≤sinα≤1,-1≤cosβ≤1.由(1)知f(x)在［-1,1］上的最大值、最小值分別是4、.∴｜f(sinα)-f(cosβ)｜≤4-()=.