Question

已知以點(diǎn)C為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求證：△OAB的面積為定值；

(2)設(shè)直線(xiàn)y＝－2x＋4與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）(x－2)2＋(y－1)2＝5

【解析】(1)證明：因?yàn)閳A與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，所以△OAB是直角三角形．又圓心C，所以|OA|＝|2t|，|OB|＝，△OAB的面積為|OA||OB|＝4，為定值．

(2)直線(xiàn)y＝－2x＋4與圓C交于點(diǎn)M，N，且|OM|＝|ON|，所以MN的中垂線(xiàn)是OC，OC的斜率為，由×(－2)＝－1，得t＝2或t＝－2(舍)，則C(2，1)，OC即圓的半徑，其長(zhǎng)為.

故圓C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.