Question

已知，橢圓C以過點A（1，），兩個焦點為（－1，0）（1，0）。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。           

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）由題意，c＝1,可設橢圓方程為。           

因為A在橢圓上，所以，解得＝3，＝（舍去）。

所以橢圓方程為  ．    　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．4分

（Ⅱ）設直線ＡＥ方程：得，代入得           

設Ｅ（，），Ｆ（，）．因為點Ａ（1，）在橢圓上，所以

，           

。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得

，           

。

所以直線EF的斜率。

即直線EF的斜率為定值，其值為。