Question

已知，橢圓C以過點A（1，），兩個焦點為（－1，0）（1，0）。

求橢圓C的方程；

E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）直線EF的斜率為定值，其值為。

【解析】

試題分析：（1）由題意，c＝1,可設橢圓方程為。

因為A在橢圓上，所以，解得＝3，＝（舍去）。

所以橢圓方程為 ．   　　　　　　6分

（2）設直線AE方程：得，代入得

設E（，），F（，）．因為點A（1，）在橢圓上，所以

，

。　　　　　　　　　　　9分

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數，在上式中以代，可得

，

。

所以直線EF的斜率。

即直線EF的斜率為定值，其值為。           13分

考點：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質，直線與橢圓的位置關系。

點評：中檔題，本題求橢圓的標準方程，主要運用的橢圓的幾何性質，注意明確焦點軸和a,b,c的關系。研究直線與圓錐曲線的位置關系，往往應用韋達定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現解題目的。