Question

【題目】已知函數.

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）若不等式 對于任意成立，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析： 求出函數的定義域和導數，然后討論當時，當時確定的單調性問題等價于對任意，有成立，設， ，根據函數的單調性求出的最大值，解關于的不等式，解出即可

解析：（1）函數的定義域為.

.

若，則

當或時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減.

若，則

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增.

綜上所述，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減，在和上單調遞增.

（2）原題等價于對任意，有成立.

設， ，所以.

.

令，得；令，得.

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

為與中的較大者.

設 ，

則 ，

所以在上單調遞增，故，所以，

從而.

所以即.

設，則.

所以在上單調遞增.

又，所以的解為.

因為，所以正實數的取值范圍為.