Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若f（x）=sinx+cosx，求f（A）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）（法1）因?yàn)閍sinB-bcosC=ccosB，
由正弦定理可得sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB．…（3分）
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，
所以sin（C+B）=sinAsinB．…（4分）
因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=π，
所以sinA=sinAsinB又sinA≠0，…（5分）
所以sinB=1，B=

π

2

．
所以△ABC為B=

π

2

的直角三角形．…（6分）
（法2）因?yàn)閍sinB-bcosC=ccosB，
由余弦定理可得asinB=b•

a2+b2-c2

2ab

+c•

a2+c2-b2

2ac

，…（4分）
所以asinB=a．
因?yàn)閍≠0，所以sinB=1．…（5分）
所以在△ABC中，B=

π

2

．
所以△ABC為B=

π

2

的直角三角形．…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?span >f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，…（8分）
所以f(A)=

2

sin(A+

π

4

)．…（9分）
因?yàn)椤鰽BC是B=

π

2

的直角三角形，
所以0＜A＜

π

2

，…（10分）
所以

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，…（11分）
所以

2

2

＜sin(A+

π

4

)≤1．…（12分）
即f（A）的最大值為

2

．…（13分）