Question

已知函數f（x）=

-x2+2x(x＞0) 0              (x=0) x2+mx (x＜0)

為奇函數；
（1）求f（-1）以及實數m的值；
（2）在給出的直角坐標系（如圖所示）中畫出函數y=f（x）的圖象并寫出f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）的解析式可求得f（-1），利用f（x）為奇函數，可得f（-1）=-f（1），列出關于m的方程，求解即可得到答案；
（2）根據（1）中的結果，可得到f（x）的解析式，根據解析式分段畫圖即可，結合圖象可得到f（x）的單調區間．

解答：解：（1）∵函數f（x）=

-x2+2x(x＞0) 0              (x=0) x2+mx (x＜0)

，
∴f（1）=-1+2=1，
又∵f（x）為奇函數，
∴f（-1）=-f（1），
又由函數表達式可知，f（-1）=1-m，
∴1-m=-1，解得m=2，
故f（1）=1，m=2；
（2）由（1）可知，m=2，
∴f（x）=

-x2+2x (x＞0) 0              (x=0) x2+2x  (x＜0)

，
根據f（x）的解析式作出函數圖象如圖所示，

根據y=f（x）的圖象可得，y=f（x）的單調增區間為[-1，1]，y=f（x）的單調減區間為（-∞，-1）和（1，+∞）．

點評：本題考查了分段函數的應用，主要考查了分段函數的奇偶性，分段函數的圖象和分段函數的單調性．對于分段函數的問題，一般選用分類討論和數形結合的思想方法進行求解，根據分段函數的圖象很容易得到相關的性質，若選用分類討論的方法，則關鍵是討論需用哪段解析式進行求解．屬于中檔題．