Question

已知函數f（x）是R上的偶函數，且滿足f（x+1）=-f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=2-x，則f（-2010.5）的值為（　　）

A．0.5

B．-1.5

C．1.5

D．1

Answer 1

分析：先根據題目條件求出函數的周期，然后通過周期性和奇偶性將-2010.5調整到[0，1]內，即可求得．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數且f（x+1）+f（x）=0①
∴f（-x+1）+f（-x）=0，
即f（x-1）+f（x）=0②
由①②，得f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x）
∴f（x）的周期T=2，且函數f（x）為偶函數，
∴f（-2010.5）=f（-2010-0.5）=f（-0.5）=f（0.5）=2-0.5=1.5．
故選C．

點評：本題是函數性質的綜合應用，這一類型的題通常會涉及到周期性、單調性、奇偶性、對稱性等．其中周期性的考查通常比較隱蔽，要注意挖掘題中的隱含條件推出函數f（x）的周期，屬于基礎題．