Question

如圖，O是△ABC外任一點，若，求證：G是△ABC重心（即三條邊上中線的交點）．

Answer 1

【答案】分析：由題意O是△ABC外任一點，由，利用向量的減法可以等價于：，再有等價條件，利用向量的平行四邊形法則及平面圖形知識即可求證．
解答：證明：由????，
由題意畫出簡圖為：
由于?，
在圖形中，利用平行四邊行法則及兩向量的加法原理可知：就是以GA，GB為兩相鄰邊的平行四邊形的對角線GD，
由于四邊形GADB為平行四邊形，所以GD平分AB，即：，所以，∴；
又GD，AB平分，所以點G在三角形ABC的邊AB的中線上，
同理點G應該在BC邊的中線上，利用重心的定義可知G是△ABC重心（即三條邊上中線的交點）．
點評：此題考查了三角形重心的定義，向量的加法，減法及平行四邊行法則．