Question

如圖所示，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：的左、右兩個焦點(diǎn)，A，B為兩個頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)的距離之和為4且．
（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過橢圓C的焦點(diǎn)F₂作AB的平行線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求△F₁PQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的定義得知a的值，即求得橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意得到PQ的方程并聯(lián)立橢圓方程，利用弦長公式求出|PQ|，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出d，從而求出△F₁PQ的面積．
解答：解：（1）由題意知，2a=4，即a=2，由，
得橢圓C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） 由已知得PQ的方程為：
聯(lián)立，解得2x²-2x-3=0，∴|PQ|===，
點(diǎn)F₁到PQ的距離為d==，
∴△F₁PQ的面積S=|PQ|d=，
即所求的△F₁PQ的面積為
點(diǎn)評：此題考查橢圓方程及弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用．