Question

如圖所示，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)的距離之和為4且b=

3

．
（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F₂作AB的平行線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求△F₁PQ的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義得知a的值，即求得橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意得到PQ的方程并聯(lián)立橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出d，從而求出△F₁PQ的面積．

解答：解：（1）由題意知，2a=4，即a=2，由b=

3

，
得橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） 由已知得PQ的方程為：y=

3

2

(x-1)
聯(lián)立

y= 3 2 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

，解得2x²-2x-3=0，∴|PQ|=

1+k2

△

2

=

1+ 3 4

• 

28

2

=

7

2

，
點(diǎn)F₁到PQ的距離為d=

| 3 2 (-1-1)-0|

1+( 3 2 )2

=

2 21

7

，
∴△F₁PQ的面積S=

1

2

|PQ|d=

1

2

×

7

2

×

2 21

7

=

21

2

，
即所求的△F₁PQ的面積為

21

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查橢圓方程及弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用．