Question

定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx+3同時滿足以下條件：
①f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；
②f′（x）是偶函數；
③f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）設g(x)=lnx-

m

x

，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲求解析式中的三個參數，則尋找三個參數的三個等式即可，根據f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，可得f′（1）=0，根據f′（x）是偶函數可求出b，最后根據f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，建立關系式即可求出函數的解析式；
（II）將參數m分離出來，即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x³+x，然后研究不等式右邊的函數的最小值即可求出m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函數得：b=0②
又f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，f'（0）=c=-1③]
由①②③得：a=

1

3

，b=0，c=-1，即f(x)=

1

3

x3-x+3
（Ⅱ）由已知得：存在x∈[1，e]，使lnx-

m

x

＜x2-1
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x³+x
設M(x)=xlnx-x3+x

&x∈[1，e]

，則M'（x）=lnx-3x²+2設H（x）=M'（x）=lnx-3x²+2，則H′(x)=

1

x

-6x=

1-6x2

x

∵x∈[1，e]，∴H'（x）＜0，即H（x）在[1，e]遞減
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤-1＜0，即M'（x）＜0∴M（x）在[1，e]上遞減，∴M（x）≥M（e）=2e-e³
于是有m＞2e-e³為所求．

點評：本題主要考查了函數的單調性、奇偶性以及在某點處的切線問題，同時考查了存在性問題，是一道函數綜合題，考查學生的基本功．