Question

從橢圓+=1（a＞b＞0）上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F₁，且它的長軸端點A及短軸端點B的連線AB平行于OM．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若b=2，設Q是橢圓上任意一點，F₂是右焦點，求△F₁QF₂的面積的最大值；
（Ⅲ）當QF₂⊥AB時，延長QF₂與橢圓交于另一點P，若△F₁PQ的面積為20（Q是橢圓上的點），求此橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據長軸端點A及短軸端點B的連線AB平行于OM，可得k_OM=k_AB，從而可得b=c，進而可求橢圓的離心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，所以c=2，表示出△F₁QF₂的面積，即可求出F₁QF₂的面積的最大值；
（Ⅲ）設橢圓方程為，與直線聯立，表示出面積，利用△F₁PQ的面積為20，即可求此橢圓的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意，，
因為長軸端點A及短軸端點B的連線AB平行于OM
所以k_OM=k_AB，所以，所以b=c
所以a²=2c²，
∴，
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，∵b=2，∴c=2
∴
∴△F₁QF₂的面積的最大值為4；
（Ⅲ）設橢圓方程為，與直線聯立可得5x²-8bx+2b²=0．△=24b²＞0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
|PQ|=，F₁到直線PQ的距離為
∴
∴b²=25，
∴a²=50，
∴橢圓方程為．
點評：本題考查橢圓的標準方程與離心率，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是正確表達三角形的面積．