Question

從橢圓=1（a＞b＞0）上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F₁，且它的長軸端點A及短軸端點B的連線AB∥OM.

（1）求橢圓的離心率e；

（2）設Q是橢圓上任意一點，F(xiàn)₂是右焦點，F(xiàn)₁是左焦點，求∠F₁QF₂的取值范圍.

Answer 1

解析：（1）∵MF₁⊥x軸，∴x_m=-c.

代入橢圓方程得y_m=，∴k_OM=-.

又∵k_AB=-，且OM∥AB，

∴-=-.故b=c，從而e=.

（2）設|QF₁|=r₁,|QF₂|=r₂,∠F₁QF₂=θ,

∴r₁+r₂=2a,|F₁F₂|=2c,

∴cosθ=≥-1=0.

當且僅當r₁=r₂時,上式成立.

∴0≤cosθ≤1,故 θ∈［0,］.