Question

從橢圓+=1（a＞b＞0）上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F₁，且它的長軸右端點A與短軸上端點B的連線AB∥OM．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若Q是橢圓上任意一點，F₂是右焦點，求∠F₁QF₂的取值范圍；
（3）過F₁作AB的平行線交橢圓于C、D兩點，若|CD|=3，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可設M的坐標代入橢圓方程，根據M在第二象限求得M的坐標，又根據AB∥OM可知k_AB=k_OM．進而可得-=-，求得b和c的關系，進而求得a和c的關系，橢圓的離心率可得．
（2）設|F₁Q|=m，|F₂Q|=n，代入余弦定理，根據均值不等式求得cos∠F₁QF₂的范圍進而求得∠F₁QF₂的范圍．
（3）根據CD∥AB，求得直線CD的斜率，進而可得直線CD的方程，與橢圓方程聯立，消去y，設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），根據韋達定理進而可表示出|CD|求得b，則a可得，最后求得橢圓的方程．
解答：解：（1）由已知可設M（-c，y），
則有+=1．
∵M在第二象限，∴M（-c，）．
又由AB∥OM，可知k_AB=k_OM．
∴-=-．∴b=c．∴a=b．
∴e==．
（2）設|F₁Q|=m，|F₂Q|=n，
則m+n=2a，mn＞0．|F₁F₂|=2c，a²=2c²，
∴cos∠F₁QF₂===-1=-1≥-1=-1=0．
當且僅當m=n=a時，等號成立．
故∠F₁QF₂∈[0，]．
（3）∵CD∥AB，k_CD=-=-．
設直線CD的方程為y=-（x+c），
即y=-（x+b）．
消去y，整理得
y=-（x+b）．
則+=1，
（a²+2b²）x²+2a²bx-a²b²=0．
設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），∵a²=2b²，
∴x₁+x₂=-=-=-b，
x₁•x₂=-=-=-．
∴|CD|=|x₁-x₂|
=•
=•==3．
∴b²=2，則a²=4．
∴橢圓的方程為+=1．
點評：本題主要考查了橢圓的應用．涉及了直線與橢圓的關系，考查了學生對問題的綜合把握．