Question

(1)已知數(shù)列｛c_n｝，其中c_n＝2ⁿ＋3ⁿ，且數(shù)列｛c_n＋1－pc_n｝為等比數(shù)列，求常數(shù)p;

(2)設(shè)｛a_n｝、｛b_n｝是公比不相等的兩個等比數(shù)列，c_n＝a_n＋b_n，證明數(shù)列｛c_n｝不是等比數(shù)列．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵｛cn＋1－pcn｝為等比數(shù)列． ∴(cn＋2－pcn＋1)2＝(cn＋3－pcn＋2)(cn＋1－pcn)將cn＝2n＋3n代入整理得： (2－p)(3－p)＝0，∴p＝2或p＝3 (2)設(shè)｛an｝｛bn｝兩個等比數(shù)列的公比分別為q1，q2且q1≠q2， 若｛cn｝成等比數(shù)列，則cn＋12＝cncn＋2即(an＋1＋bn＋1)2＝(an＋bn)(an＋2＋bn＋2) 整理得2an＋1bn＋1＝anbn＋2＋bnan＋2即2q1q2＝q12＋q22 ∴q1＝q2與q1≠q2矛盾，因此｛cn｝不是等比數(shù)列． 通過上述解法可看到若｛an｝｛bn｝成等比數(shù)列且公比相同則｛an＋bn｝成等比數(shù)列；若｛an｝｛bn｝成等比數(shù)列且公比不同，則｛an＋bn｝不構(gòu)成等比數(shù)列．