Question

已知（2x+1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ中令x=0，就可以求出常數項，即1=a₀．請你根據其中蘊含的解題方法研究下列問題；若e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a_nxⁿ+…，且n≥2，n∈N，則a₁+

a2

a0

+

a3

a1

+…+

an

an-2

=

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：計算題,推理和證明

分析：通過對e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…a_nxⁿ+…，連續求導，賦值求出a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，猜想a_n，然后求解a₁+

a2

a0

+

a3

a1

+…+

an

an-2

的值．

解答： 解：∵e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a_nxⁿ+…，
∴（e^x）′=a₁+2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+…+na_nx^n-1+…，
令x=0，可得a₁=1，
同理，a₂=

1

2！

，
猜想a_n=

1

n！

，
∴a₁+

a2

a0

+

a3

a1

+…+

an

an-2

=1+

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

，
故答案為：2-

1

n

．

點評：本題考查數列與函數的綜合應用，函數的導數以及二項式定理的應用，考查轉化思想以及計算能力．