Question

已知函數f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，則t的取值范圍________．

Answer 1

分析：函數f（x）=|xe^x|是分段函數，通過求導分析得到函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，在（-∞，-1）上為增函數，在（-1，0）上為減函數，求得函數f（x）在（-∞，0）上，當x=-1時有一個最大值，所以，要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，f（x）的值一個要在內，一個在內，然后運用二次函數的圖象及二次方程根的關系列式求解t的取值范圍．
解答：f（x）=|xe^x|=
當x≥0時，f^′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數；
當x＜0時，f^′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f^′（x）=0，得x=-1，當x∈（-∞，-1）時，f^′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）為增函數，
當x∈（-1，0）時，f^′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）為減函數，
所以函數f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一個最大值為f（-1）=-（-1）e^-1=，
要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，
令f（x）=m，則方程m²+tm+1=0應有兩個不等根，且一個根在內，一個根在內，
再令g（m）=m²+tm+1，
因為g（0）=1＞0，
則只需g（）＜0，即，解得：t＜-．
所以，使得函數f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根的t的取值范圍
是．
故答案為．
點評：本題考查了根的存在性及根的個數的判斷，考查了利用函數的導函數分析函數的單調性，考查了學生分析問題和解決問題的能力，解答此題的關鍵是分析出方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根時f（x）的取值情況，此題屬于中高檔題．