Question

判斷y=1-2x³ 在（-∞，+∞）上的單調性，并用定義證明．

Answer 1

分析：在實數集內人去兩個自變量的值，函數值作差后進行因式分解，展開立方差后后面的二次三項式還要進行配方，最后判斷差式的符號，得到函數值的大小，從而得到結論．

解答：證明：f（x）=1-2x³在（-∞，+∞）上為單調減函數，證明如下
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=（1-2x³₁）-（1-2x³₂）
=2（x³₂-x₁³）
=2（x₂-x₁）（x²₂+x₁x₂+x²₁）
=2（x₂-x₁）[（x₁+x₂）²+

3

4

x22]
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0，
又（x₁+x₂）²≥0，

3

4

x22≥0，且（x₁+x₂）²，

3

4

x22不同時為0，
∴2（x₂-x₁）[（x₁+x₂）²+

3

4

x22]＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂） 
故f（x）=1-2x³在（-∞，+∞）上為單調減函數．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，關鍵是作差判符號，作差時因式分解要徹底，避免出現“證題用題”現象的發生，此題是中檔題．