Question

已知頂點在原點，焦點在x軸的負半軸的拋物線截直線y=x+

3

2

所得的弦長|P₁P₂|=4

2

，求此拋物線的方程．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：拋物線y²=2px，p＜0，聯立

y2=2px y=x+ 3 2

，得x²+（3-2p）x+

9

4

=0，由此利用韋達定理，結合已知條件能注出拋物線方程．

解答： 解：拋物線y²=2px，p＜0，直線y=x+

3

2

，聯立

y2=2px y=x+ 3 2

，得x²+（3-2p）x+

9

4

=0，
根據韋達定理有x₁+x₂=2p-3，x1x2=

9

4

，
|P₁P₂|=4

2

，|P₁P₂|²=32，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=32，
由直線方程，得y₁-y₂=x₁-x₂，
∴（x₁-x₂）²+（x₁-x₂）²=32，∴（x₁-x₂）²=16，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，∴（2p-3）²-9=16，
∴（2p-3）²=25，p＜0，∴2p-3=-5，解得p=-1，
∴拋物線方程為y²=-2x．

點評：本題考查拋物線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．