Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e為自然對數的底數．若不等式f（x）≤0恒成立，則 的最小值為 ．

Answer 1

【答案】﹣
【解析】解：∵函數f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e為自然對數的底數，

∴ ，x＞0，

當a≤e時，f′（x）＞0，

f（x）在（0，+∞）上是增函數，∴f（x）≤0不可能恒成立，

當a＞e時，由 ，得x= ，

∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值為0，

當x∈（0， ）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

∴當x= 時，f（x）取最大值，

f（ ）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，

∴ln（a﹣e）+b+1≥0，

∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），

∴ （a＞e），

令F（x）= ，x＞e，

F′（x）= = ，

令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，

H′（x）=ln（x﹣e）+1，

由H′（x）=0，得x=e+ ，

當x∈（e+ ，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數，

x∈（e，e+ ）時，H′（x）＜0，H（x）是減函數，

∴當x=e+ 時，H（x）取最小值H（e+ ）=﹣e﹣ ，

∵x→e時，H（x）→0，x＞2e時，H（x）＞0，H（2e）=0，

∴當x∈（e，2e）時，F′（x）＜0，F（x）是減函數，

當x∈（2e，+∞）時，F′（x）＞0，F（x）是增函九，

∴x=2e時，F（x）取最小值，F（2e）= =﹣ ，

∴ 的最小值為﹣ ．

所以答案是：﹣ ．

【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．