Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=

1

2

，S_n=n²a_n-7n（n-1）
（1）證明：數列{

n+1

n

S_n}是等差數列，并求S_n；
（2）設|S_n|的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，轉化為等差數列即可得出．
（2）利用等差數列的前n項和公式即可得出．

解答：（1）證明：由S_n=n²a_n-7n（n-1），
當n≥2時，S_n=n²（S_n-S _n-1）-7n（n-1），
∴整理得出（n²-1）S_n-n²S_n-1=7（n²-n），
兩邊同除以n²-n整理得

n+1

n

S_n-

n

n-1

S_n-1=7，
∴數列{

n+1

n

S_n}是等差數列，公差為7，首項為2S₁=2a₁=1．
其通項公式為

n+1

n

S_n=1+7（n-1）=7n-6，
∴S_n=

(7n-6)•n

n+1

．
（2）解：由（1）可得Sn=7n-13+

13

n+1

＞0，
∴T_n=7×

n(n+1)

2

-13n+13(

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)．

點評：本題考查了“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”、等差數列的通項公式及前n項和公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．