Question

已知z、w、x為復數，且x=（1+3i）•z，w=

z

2+i

且|w|=5

2

．
（1）若w為大于0的實數，求復數x．
（2）若x為純虛數，求復數w．

Answer 1

分析：（1）由條件化簡 z=

x

1+3i

，進而得到 w=

x

-1+7i

，由|w|=5

2

且w為大于0的實數，得到 5

2

=

x

-1+7i

，由此求得 x 的值．
（2）若x為純虛數，設x=bi，b≠0．由（1）可得|w|=|

x

-1+7i

|=|

bi

-1+7i

|=5

2

 解得b的值即可得到 w=

x

-1+7i

=

bi

-1+7i

的值．

解答：解：（1）∵x=（1+3i）•z，∴z=

x

1+3i

．
若w為大于0的實數，
∵w=

z

2+i

=

x

(1+3i)(2+i)

=

x

-1+7i

，|w|=5

2

，
則有 5

2

=

x

-1+7i

，∴x=-5

2

+35

2

i．
（2）若x為純虛數，設x=bi，b≠0．
由（1）可得 |

x

-1+7i

|=|

bi

-1+7i

|=5

2

，∴b=±50．
∴w=

x

-1+7i

=

50i

-1+7i

=7-i，或w=

x

-1+7i

=

-50i

-1+7i

=-7+i．

點評：本題主要考查復數的基本概念，復數代數表示法及其幾何意義，兩個復數代數形式的混合運算，屬于基礎題．