Question

如圖，曲線y²=x（y≥0）上的點P_i與x軸的正半軸上的點Q_i及原點O構成一系列正三角形△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，…△Q_n-1P_nQ_n…設正三角形Q_n-1P_nQ_n的邊長為a_n，n∈N﹡（記Q為O），Q_n（S_n，0）．
（1）求a₁的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設出P₁關于a₁的坐標，代入曲線方程，得到關于a₁的方程，求解即可．
（2）根據題意求得P_n+1的坐標，并代入曲線方程中，得到S_n=a_n+1²-a_n+1，分兩種情況討論：①當n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1，解得a_n+1-a_n=；②當n=1時，解得a₂-a₁=，即為a_n+1-a_n=，故得到數列的通項公式為a_n=．
解答：解：（1）由條件可得△P₁0Q₁為正三角形，且邊長為a₁，所以，P₁在曲線上，代入y²=x（y≥0）
得，∵a₁＞0，∴a₁=；
（2）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n
∴根據題意容易求得點
代入曲線y²=x（y≥0）并整理得S_n=，
于是當n≥2，n∈N^*時，
即
∵a_n+1＞a_n＞0，∴a_n+1-a_n=
又當n=1時，S₁=，∴
∴a₂-a₁=，
故a_n+1-a_n=
綜上所述：數列{a_n}是首項為．公差為的等差數列，即a_n=n；
點評：此題比較新穎，是一道關于數列和函數的綜合題，主要考查求解等差數列通項公式的方法，計算量比較大，要細心，平時多總結方法．