Question

如圖，曲線y²=x（y≥0）上的點(diǎn)P_i與x軸的正半軸上的點(diǎn)Q_i及原點(diǎn)O構(gòu)成一系列正三角形△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，…△Q_n-1P_nQ_n…設(shè)正三角形Q_n-1P_nQ_n的邊長(zhǎng)為a_n，n∈N﹡（記Q₀為O），Q_n（S_n，0）．
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)出P₁關(guān)于a₁的坐標(biāo)，代入曲線方程，得到關(guān)于a₁的方程，求解即可．
（2）根據(jù)題意求得P_n+1的坐標(biāo)，并代入曲線方程中，得到S_n=

3

4

a_n+1²-

1

2

a_n+1，分兩種情況討論：①當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=S_n-S_n-1，解得a_n+1-a_n=

2

3

；②當(dāng)n=1時(shí)，解得a₂-a₁=

2

3

，即為a_n+1-a_n=

2

3

，故得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=

2n

3

．

解答：解：（1）由條件可得△P₁0Q₁為正三角形，且邊長(zhǎng)為a₁，所以P1(

1

2

a1，

3

2

a1)，P₁在曲線上，代入y²=x（y≥0）
得

3

4

a

2 1

=

1

2

a1，∵a₁＞0，∴a₁=

2

3

；
（2）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n
∴根據(jù)題意容易求得點(diǎn)Pn+1(Sn+

1

2

an+1，

3

2

an+1)
代入曲線y²=x（y≥0）并整理得S_n=

3

4

a

2 n+1

-

1

2

an+1，
于是當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，an=Sn-Sn-1=(

3

4

a

2 n+1

-

1

2

an+1)-(

3

4

a

2 n

-

1

2

an)
即

1

2

(an+1+an)=

3

4

(an+1+an)•(an+1-an)
∵a_n+1＞a_n＞0，∴a_n+1-a_n=

2

3

(n≥2，n∈N*)
又當(dāng)n=1時(shí)，S₁=

3

4

a

2 2

-

1

2

a2，∴a2=

4

3

(-

2

3

舍去)
∴a₂-a₁=

2

3

，
故a_n+1-a_n=

2

3

(n∈N*)
綜上所述：數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

2

3

．公差為

2

3

的等差數(shù)列，即a_n=

2

3

n；

點(diǎn)評(píng)：此題比較新穎，是一道關(guān)于數(shù)列和函數(shù)的綜合題，主要考查求解等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，計(jì)算量比較大，要細(xì)心，平時(shí)多總結(jié)方法．