Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，△PCD的重心G在底面ABCD上的射影恰好是△ACD的重心N，且GN=

1

3

AB=

1

3

PA=1．
（1）求證：AN⊥PB
（2）求點B到平面PCD的距離
（3）求二面角B-PC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）N是G在面ABCD上的射影，推出GN⊥面ABCD，GN∥PA，以及PA⊥平面ABCD，連PG交CD于點M，則點M為CD的中點，且AN過點M
證明AN⊥CD，AB∥CD，得到AN⊥PB
（2）說明點B到面PCD的距離等于點A到面PCD的距離，過點A作AE⊥PM
AE⊥平面PCD，然后求出AE=

3 21

7

，即點B到平面PCD的距離為

3 21

7

．
（3）連接BD，過B作BK⊥PC交PC于K，AC與BD交于點O，連KO，說明∠BKO為二面角B-PC-A的平面角
在Rt△BKO中，tan∠BKO=

OB

KO

=

6

，二面角B-PC-A的大小為arttan

6

．

解答：解：（1）證明：∵N是G在面ABCD上的射影，
∴GN⊥面ABCD，又G、N分別為△PCD和△ACD的重心，
∴GN∥PA
∴PA⊥平面ABCD
∴AB為PB在平面ABCD內射影，連PG交CD于點M，則點M為CD的中點，且AN過點M
∵ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴AN⊥CD，又AB∥CD，
∴AN⊥AB，∴AN⊥PB（4分）

（2）∵AB∥CD
∴AB∥平面PCD，
∴點B到面PCD的距離等于點A到面PCD的距離，過點A作AE⊥PM
∴AN⊥CD又PA⊥平面ABCD
∴CD⊥PM
∴CD⊥平面PAM
∴CD⊥AE
∴AE⊥平面PCD
∴AE為點A到平面PCD的距離
∵GN=

1

3

AB=

1

3

PA=1，∴PA=AB=3，AM=

3 3

2

，∴PM

3 7

2

∴AE=

3 21

7

，
即點B到平面PCD的距離為

3 21

7

（8分）

（3）連接BD，過B作BK⊥PC交PC于K，AC與BD交于點O，連KO，易知PC⊥平面KO
∴PC⊥KO，則∠BKO為二面角B-PC-A的平面角
∵AB=3
∴BO=

3 3

2

，∴KO=

3 2

4

在Rt△BKO中，tan∠BKO=

OB

KO

=

6

∴二面角B-PC-A的大小為arttan

6

（12分）
另：用坐標系求解，酌情評分．

點評：本題是中檔題，考查直線與直線的垂直，點到平面的距離，二面角的求法，考查空間想象能力，計算能力，常考題型．