Question

如圖，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=
2a，PA⊥平面ABCD，PD與平面ABCD成30°角．
（Ⅰ）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證直線與直線垂直，可先證直線與平面垂直，即PD⊥平面BAE，利用線面垂直的判定，需尋找線線垂直，故可證．
（Ⅱ）利用空間向量，構建空間直角坐標系，分別求出平面PAB與平面PCD的法向量，從而可求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵∠BAD=90°，∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，BA?底面ABCD
∴BA⊥PA．
∵PA∩AD=A，
∴BA⊥平面PAD．
∵PD?平面PAD．
∴PD⊥BA．
又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A，
∴PD⊥平面BAE
∵BE?平面BAE
∴PD⊥BE，即BE⊥PD．
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標系，
∵底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC
∴CB⊥AB，
∵PA⊥底面ABCD，CB?底面ABCD
∴CB⊥PA，
∵PA∩AB=A
∴CB⊥平面PAB．
∴

BC

是平面PAB的法向量，且

BC

=（0，a，0）．
設平面PCD的一個法向量為

m

=(x，y，z)，則

m

⊥

PC

，

m

⊥

CD

．
而

PC

=(a，a，-

2 3

3

a)，

CD

=（-a，a，0），
∴由

m

•

PC

=0，

m

•

CD

=0．
得

ax+ay- 2 3 3 az=0 -ax+ay=0

∴

x=y z= 3 y

令y=1，∴

m

=(1，1，

3

)
設向量

BC

與與

m

所成角為θ，
則cosθ=

BC • m

| BC |•| m |

=

0×1+a×1+0× 3

02+a2+02 • 12+12+( 3 )2

=

a

a• 5

=

5

5

．
∴平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為

5

5

．

點評：本題重點考查線面垂直的判定與性質，考查面面角，解題的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定與性質，掌握平面法向量的求解方法．