Question

【題目】若函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對任意的正整數(shù)都有，.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析 （2） （3）證明見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，令即，分類討論不等式的解集確定導(dǎo)數(shù)的符號從而確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意知則，由（1）確定函數(shù)單調(diào)性從而求出函數(shù)在上的最小值，根據(jù)不等式恒成立的條件即可求出a的范圍；（3）取由（2）可推出成立，取得，取時，得，取，得，…，取，得，累加即得所需證明的不等式.

（1）∵，

∴，

令即，方程的根為0，,

①當即時，在，上單調(diào)遞增；

②當即時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當即時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

④當即時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

⑤當即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

綜上所述：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當時，在，上單調(diào)遞增；

當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）∵在上恒成立，∴，∴，

由（1）知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

∴，∴；

（3）取，∴，

取，可得，

當時，∵，，∴，

取時，得；

取，得；

…

取，得；

將這n個式子相加，得.