Question

已知各項為正數的數列{a_n}滿足a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=（4n³-n），（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）記數列{na_n}的前n項和為T_n，試用數學歸納法證明對任意n∈N^*，都有T_n≤nS_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）當n=1時，有a₁²=（4×1²-1）=1，又a_n＞0，所以 a₁=1（1分）
當n≥2時，（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n-1²）=a_n²
=（4n³-n）-[4（n-1）³-（n-1）]=[n³-（n-1）³]-
=（n²+n²-n+n²-2n+1）-=4n²-4n+1=（2n-1）²
所以a_n=2n-1，且當n=1時，a₁=2×1-1=1 （3分）
又a_n-a _n-1=（2n-1）-[2（n-1）-1]=2，
因此數列{a_n}是以1為首項且公差為2的等差數列，
所以：S_n=n+n×n（n-1）×2=n²，（2分）
證明：（Ⅱ）（1）當n=1時，T₁=1×1=1，
1×S1=1×1=1，關系成立 （1分）
（2）假設當n=k時，關系成立，即T_k≤kS_k，則
1×1+2×a₂+1+…+ka_k≤k³（1分）
那么T _k+1=1×1+2×a₂+…+ka_k+（k+1）a _k+1≤k³+（k+1）（2k+1）
=k³+2k²+3k+1＜k³+3k²+3k+1=（k+1）³，即當n=k+1時關系也成立（3分）
根據（1）和（2）知，關系式T_n≤nS_n對任意n∈N^*都成立 （1分）
分析：（I）因為n≥2時，（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n-1²）=a_n²，從而求出a_n，再根據等差數列的性質可知求出數列的首項與公差，根據首項與公差寫出前n項和的公式即可；
（II）先根據當n=1時，把n=1代入求值不等式成立；再假設n=k時關系成立，利用變形可得n=k+1時關系也成立，綜合得到對于任意n∈N^*時都成立．
點評：此題是一道綜合題，要求學生掌握等差數列的性質，會求等差數列的通項公式及前n項的和公式，同時要求學生掌握數學歸納法在證明題中的運用．