Question

定義在R上的函數f（x）滿足
①對任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
②當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）求f（0）值；
（2）判斷函數f（x）奇偶性；
（3）判斷函數f（x）的單調性；
（4）解不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8．

Answer 1

分析：（1）根據已知等式，采用賦值法，取x=y=0，可得f（0）的值
（2）結合（1）中結論，繼續采用賦值法，取y=-x，結合函數奇偶性的定義，可得f（x）是奇函數；
（3）根據函數單調性的定義，任取x₁＜x₂，將 f（x₂）與f（x₁）作差得到負數，從而 f（x₁）＞f（x₂），得到f（x） 在R上是減函數；
（4）根據函數在R上是奇函數且為減函數，將原不等式轉化為x²-3x-4≤0，再根據二次不等式的解法，得到答案．

解答：解：∵對任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
（2）取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數
（3）任取x₁＜x₂，
則 x₂-x₁＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
又∵當x＞0時，f（x）＜0，
f（x₂）-f（x₁）＜0，
可得 f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x） 在R上是減函數 
（4）∵f（1）=-2
∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，
f（4）=f（2）+f（2）=-8
∴不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8
可化為f（x²-2x）-f（x）≥f（4）
即f（x²-2x）≥f（x）+f（4）
即x²-2x≤x+4
即x²-3x-4≤0
解得-1≤x≤4
故不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8的解集為[-1，4]

點評：本題著重考查了函數的單調性與奇偶性、二次不等式的處理等知識，屬于中檔題．