Question

設z是虛數，w=z+是實數，且-1＜w＜2.

（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；

（2）設u=，求證：u為純虛數；

（3）求w-u²的最小值.

Answer 1

（1）解:設z=a+bi(a、b∈R，且b≠0），?

則w=z+=a+bi+=（)+()i.?

∵w是實數，∴b-=0.?

由b≠0，得a²+b²=1,即|z|=1.?

∵|z|=1,∴z·=|z|²=1.∴w=z+=z+=2a.?

由已知-1＜w＜2，即-1＜2a＜2，解得-＜a＜1.

（2）證明：u+=+=+=0，?

∵z≠1（否則w=2矛盾），?

∴u≠0.?

從而u為純虛數.

（3）解：u==,?

w-u²=2a-()²=2a--?

=2a-=?

=2(1+a)+ -3.?

∵-＜a＜1,∴＜1+a＜2.?

∴4≤2(1+a)+＜5.?

∴w-u²的最小值為4.

點評:一個復數是實數的條件是共軛復數是其本身；一個復數為純虛數的條件是與其共軛復數的和為零，本題通過設復數z=a+bi(a、b∈R）將復數問題轉化為實數問題解決.