Question

設z是虛數，w＝z＋是實數，且－1＜w＜2.

(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍；

(2)設u＝，求證：u為純虛數；

(3)求w－u²的最小值．

Answer 1

解：(1)設z＝a＋bi，a，b∈R，b≠0，

則w＝a＋bi＋＝＋i，

 ∵w是實數，b≠0，

∴a²＋b²＝1，即|z|＝1.

于是w＝2a，－1＜2a＜2，－＜a＜1，

∴z的實部的取值范圍是.

(2)證明：u＝＝＝＝－i.

∵a∈，b≠0，

∴u為純虛數．

(3)w－u²＝2a＋＝2a＋＝2a－＝2a－1＋＝2－3.

∵a∈，∴a＋1＞0，故w－u²≥2·2 －3＝4－3＝1.當a＋1＝，即a＝0時，w－u²取得最小值1.