Question

設z是虛數，w=z+是實數，且-1＜w＜2._____________.(先在橫線上填上一個結論，然后再解答)

Answer 1

構建問題：設z是虛數，w=z+是實數，且-1＜w＜2.

(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍;

(2)設u=，求證：u為純虛數;

(3)求w-u²的最小值.

解析：(1)設z=a+bi(a、b∈R,且b≠0)，

則w=a+bi+i.

∵w是實數，b≠0，

∴a²+b²=1,

即|z|=1.

∴w=2a,-1＜w=2a＜2,-＜a＜1,

∴z的實部的取值范圍是(-,1).

(2)u==i,

∵a∈(-,1),b≠0,

∴u為純虛數.

(3)w-u²=2a+=2a+=2a-=2a-1+

=2［(a+1)+］-3.

∵a∈(-,1),

∴a+1＞0.

故w-u²≥2×2-3=4-3=1,

當a+1=,即a=0時，w-u²取得最小值1.