Question

已知兩點P（-2，2），Q（0，2）以及一條直線：L：y=x，設長為

2

的線段AB在直線L上移動，如圖，求直線PA和QB的交點M的軌跡方程．（要求把結果寫成普通方程）

Answer 1

分析：根據題意，設點A和B分別是（a，a）和（a+1，a+1），直線PA的方程是y-2=

a-2

a+2

(x+2)(a≠-2)(1)，直線QB的方程是y-2=

a-1

a+1

x(a≠-1)(2)．當

a-2

a+2

=

a-1

a+1

，即a=0時，直線PA和QB平行，無交點；當a≠0時，直線PA與QB相交，
設交點為M（x，y），y-2=(1-

2

a+1

)x，a+1=

2x

x-y+2

，∴a+2=

3x-y+2

x-y+2

，a-2=

3y-x-6

x-y+2

.由此能得到直線PA和QB的交點M的軌跡方程．

解答：解：由于線段AB在直線y=x上移動，且AB的長

2

，
所以可設點A和B分別是（a，a）和（a+1，a+1），其中a為參數
于是可得：直線PA的方程是y-2=

a-2

a+2

(x+2)(a≠-2)(1)
直線QB的方程是y-2=

a-1

a+1

x(a≠-1)(2)
（1）當

a-2

a+2

=

a-1

a+1

，即a=0時，
直線PA和QB平行，無交點
（2）當a≠0時，直線PA與QB相交，
設交點為M（x，y），由（2）式得y-2=(1-

2

a+1

)x，a+1=

2x

x-y+2

，
∴a+2=

3x-y+2

x-y+2

，a-2=

3y-x-6

x-y+2

.
將上述兩式代入（1）式，得
y-2=

3y-x-6

3x-y+2

(x+2)整理得x²-y²+2x-2y+8=0，
即

(x+1)2

8

-

(y+1)2

8

=-1(*)
當a=-2或a=-1時，直線PA和QB仍然相交，并且交點坐標也滿足（*）式
所以（*）式即為所求動點的軌跡方程．

點評：本題考查軌跡方程的求法，解題時要認真審題，仔細分析，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地選取公式．