Question

四棱錐P-ABCD的底面是邊長為的正方形，側棱長都等于，則經過該棱錐五個頂點的球面面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：設AC、BD的交點為F，連接PF，則PF是四棱錐P-ABCD的高且四棱錐P-ABCD的外接球球心O在PF上．由正四棱錐的性質，結合題中數據算出AF=4且PF=8，Rt△AOF中根據勾股定理，得R²=4²+（8-R）²，解之得R=5，利用球的表面積公式即可算出經過該棱錐五個頂點的球面面積．
解答：解：設AC、BD的交點為F，連接PF，則PF是四棱錐P-ABCD的高，
根據球的對稱性可得四棱錐P-ABCD的外接球球心O在直線PF上，
∵正方形ABCD邊長為，∴AF=AB=4
Rt△PAF中，PF==8
連接OA，設OA=0P=R，則
Rt△AOF中AO²=AF²+OF²，即R²=4²+（8-R）²
解之得R=5
∴四棱錐P-ABCD的外接球表面積為S=4πR²=4π×5²=100π
故答案為：100π
點評：本題給出正四棱錐，求它的外接球的表面積，著重考查了正四棱錐的性質、勾股定理和球的表面積公式等知識，屬于基礎題．