Question

市民李生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就讀的小學在丙地，三地之間的道路情況如圖所示．假設工作日不走其它道路，只在圖示的道路中往返，每次在路口選擇道路是隨機的．同一條道路去程與回程是否堵車相互獨立．假設李生早上需要先開車送小孩去丙地小學，再返回經甲地趕去乙地上班．假設道路A、B、D上下班時間往返出現擁堵的概率都是，道路C、E上下班時間往返出現擁堵的概率都是，只要遇到擁堵上學和上班的都會遲到．

（1）求李生小孩按時到校的概率；
（2）李生是否有七成把握能夠按時上班？
（3）設ξ表示李生下班時從單位乙到達小學丙遇到擁堵的次數，求ξ的均值．

Answer 1

解：（1）因為道路D、E上班時間往返出現擁堵的概率分別是和．
因此從甲到丙遇到擁堵的概率是，
所以李生小孩能夠按時到校的概率是1-0.15=0.85；
（2）甲到丙沒有遇到擁堵的概率是，
丙到甲沒有遇到擁堵的概率也是，
甲到乙遇到擁堵的概率是，
甲到乙沒有遇到擁堵的概率是，
∴李生上班途中均沒有遇到擁堵的概率是，所以李生沒有七成把握能夠按時上班．
（3）依題意ξ可以取0，1，2．
P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=．

ξ	0	1	2
P

分布列是：Eξ==
分析：（1）先求出從甲到丙遇到擁堵的概率，利用對立事件的概率計算公式即可得到李生小孩能夠按時到校的概率；
（2）由（1）的結論可得：甲到丙沒有遇到擁堵的概率是，同樣丙到甲沒有遇到擁堵的概率也是；先求出：甲到乙遇到擁堵的概率，由對立事件的概率即可得到甲到乙沒有遇到擁堵的概率，利用獨立事件的概率計算公式即可得到李生上班途中均沒有遇到擁堵的概率，即可判斷出答案．
（3）利用（1）（2）的結論和獨立事件的概率計算公式和互斥事件的概率計算公式即可得出，再利用分布列和數學期望即可得出．
點評：正確理解題意和熟練掌握獨立事件、對立事件、互斥事件的概率計算公式和分布列、數學期望的計算公式是解題的關鍵．