Question

某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m³，深為3m，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，記該水池底面一邊的長度為x m（x＞0），該水池的總造價為y元．
（Ⅰ）寫出y關于x的函數表達式；
（Ⅱ）怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別計算池底與池壁的造價，可得y關于x的函數表達式；
（Ⅱ）利用基本不等式，可求總造價最低及最低總造價．

解答：解：（Ⅰ）因水池底面一邊的長度為xm，則另一邊的長度為

4800

3x

m，--（1分）
根據題意，得y=150×

4800

3

+120（2×3x+2×3×

4800

3x

）=240000+720（x+

1600

x

）
∴所求的函數表達式為：y=720（x+

1600

x

）+240000（x＞0）-----------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=720（x+

1600

x

）+240000≥720×2

x• 1600 x

+240000-----------（9分）
=720×2×40+240000=297600．-----------（10分）
當且僅當x=

1600

x

，即x=40時，y有最小值297600．
此時另一邊的長度為

4800

3x

=40m（---11分）
因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元．-----------（12分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用基本不等式求最值，考查利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．