Question

【題目】已知函數.

（1）當時,求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數在其定義域內為增函數,求實數的取值范圍；

（3）設函數,若在區間上至少存在一點,使得成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】

（1）求出f（x）的導數，求出f′（1），f（1），代入切線方程即可；

（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍結合二次函數的性質得到函數的單調性，從而求出a的具體范圍；

（3）構造函數（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，只需（x）max＞0，根據函數的單調性求出（x）max，從而求出a的范圍．

（1）解: 當時,,, ,

曲線在點處的斜率為, 故曲線在點處的切線方程為,即

（2）解: . 令,要使在定義域內是增函數,只需≥在區間內恒成立. 依題意,此時的圖象為開口向上的拋物線,,其對稱軸方程為,,則只需≥,即≥時,≥,≥,

所以定義域內為增函數,實數的取值范圍是.

（3）解: 構造函數,,依題意,

由（2）可知≥時,為單調遞增函數,

即在上單調遞增,

,則,

此時,,即成立.

當≤時,因為,,

故當值取定后,可視為以為變量的單調遞增函數,

則≤,,

故≤,

即≤,不滿足條件.

所以實數的取值范圍是.