Question

（2012•蘭州模擬）某市為了推動全民健身運動在全市的廣泛開展，該市電視臺開辦了健身競技類欄目《健身大闖關》，規(guī)定參賽者單人闖關，參賽者之間相互沒有影響，通過關卡者即可獲獎．現(xiàn)有甲、乙、丙3人參加當天的闖關比賽，已知甲獲獎的概率為

3

5

，乙獲獎的概率為

2

3

，丙獲獎而甲沒有獲獎的概率為

1

5

．
（1）求三人中恰有一人獲獎的概率；
（2）記三人中獲獎的人數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）設甲獲獎為事件A，乙獲獎為事件B，丙獲獎為事件C，丙獲獎的概率為p，由題意可得P（C）P（

.

A

）=

1

5

，從而求出p值，再根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式可得三人中恰有一人獲獎的概率．
（2）由題意可得三人中獲獎的人數(shù)ξ值為：0，1，2，3，再結(jié)合題中的條件與相互獨立事件的概率乘法公式分別求出它們發(fā)生的概率，進而求出ξ的數(shù)學期望．

解答：解：設甲獲獎為事件A，乙獲獎為事件B，丙獲獎為事件C，丙獲獎的概率為p，
則P（C）P（

.

A

）=

1

5

，即p（1-

3

5

）=

1

5

，∴p=

1

2

．
（1）三人中恰有一人獲獎的概率為：
P=P（A）P（

.

B

）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（C）
=

3

5

（1-

2

3

）（1-

1

2

）+（1-

3

5

）

2

3

（1-

1

2

）+（1-

3

5

）（1-

2

3

）

1

2

=

3

10

；
（2）P（ξ=0）=

2

5

×

1

3

×

1

2

=

1

15

，
P（ξ=1）=P（A）P（

.

B

）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（C）=

3

10

，
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（C）+P（A）P（

.

B

）P（C）=

13

30

，
P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=

1

5

．
∴Eξ=0×

1

15

+1×

3

10

+2×

13

30

+3×

1

5

=

53

30

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握相互獨立事件的概率乘法公式與對立事件的定義，以及離散型隨機變量的期望，此題屬于中檔題．