Question

已知a＞0，且a≠1，設p：函數y=a^x在R上遞增；q：函數f（x）=x²-2ax-1在(

1

3

，+∞)上單調遞增，若“p且q”為假，“p或q”為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：由條件p或q為真命題，p且q為假命題，確定p與q一真一假，然后根據命題的真假關系確定取值范圍．

解答： 解：∵函數y=a^x在R上遞增，∴a＞1．
即p為真時，a＞1．
函數f（x）=x²-2ax-1在(

1

3

，+∞)上單調遞增，
則對稱軸x=a≤

1

3

，
∴q為真時：0＜a≤

1

3

，
∵“p且q”假，“p或q”真．
∴p與q一真一假．
∴p真q假或p假q真，即

a＞1 a＞ 1 3

或

0＜a＜1 0＜a≤ 1 3

，
∴a＞1或0＜a≤

1

3

，
故實數a的取值范圍是a＞1或0＜a≤

1

3

．

點評：本題主要復合命題的命題與簡單命題的真假關系的應用，將命題進行化簡是解決本題的關鍵．